şi ductilitate mari.
Pavarea unei pardoseli sferice
sau hiperbolice are un grad de
complexitate mai mic decât în cazul euclidian pentru că, după cum a observat Poincare, în aceste cazuri, grupul izometriilor e mai mare şi pavajul poate avea mai
multă simetrie.
Pe sferă există numai cinci pavaje regulate, corespunzătoare pro-Figura 4.6
iecţiilor centrale ale celor cinci
poliedre regulate (adică umflând
poliedrul până devine sferic). Mingea de fotbal, în schimb, e făcută cu un pavaj neregulat, cu pentagoane şi hexagoane (figura 4.5). Pavajele cu poligoane regulate de tipuri diferite se numesc arhimediene pentru că au fost clasificate de Arhimede.
Discul hiperbolic poate fi pavat regulat într-o infinitate de moduri; într-o lucrare nepublicată, Gauss a fost unul dintre primii care au propus pavajul din figura 4.6. Acest pavaj a fost 172 FORMA LUCRURILOR
reluat de graficianul olandez
Maurits Cornelis Escher care,
chiar neavând multe cunoştinţe
matematice, l-a folosit ca să creeze câteva opere splendide. Figura 4.7 reproduce gravura sa intitulată Circle Limit III. Matematicianul britanic Harold Coxeter a studiat în amănunt aceste pavaje şi le-a redus la anumite
grupuri de izometrii.
Figura 4.7
REVOLUŢIA PICTORILOR ITALIENI
Renaşterea italiană, una dintre perioadele cele mai fecunde pentru cultură, a adus noutăţi extraordinare inclusiv în geometrie.
Printre acestea, o nouă viziune a spaţiului prin intermediul perspectivei, realizare a arhitecţilor şi pictorilor secolului XV, printre care Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti, Piero della Francesca, Paolo Uccello şi Leonardo da Vinci.
Descoperirea unei metode pentru a desena direct în perspectivă e atribuită lui Filippo Brunelleschi, dar primul tratat veritabil e De pictura, din 1435, redactat de Leon Battista Alberti şi dedicat lui Filippo Brunelleschi. Găsim aici tehnica vălului, care constă în a pune o bucată de stofă transparentă, cu o ţesătură suficient de largă, pe o ramă fixată între pictor şi scena care trebuie desenată. Figura 4.8 reproduce o gravură a lui Albrecht Diirer care descrie această tehnică.
Alberti oferă indicaţii teoretice despre ceea ce el numeşte construcţie legitimă şi care se bazează în mod esenţial pe următoarele două principii: 1. o linie dreaptă în perspectivă rămâne linie dreaptă; 2. dreptele paralele rămân paralele sau converg într-un punct, numit punct de fugă.
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 171
Figura 4.8
Figura 4.9, din De pictura, arată cum se desenează în perspectivă o pardoseală cu dale pătrate. Dreptele neorizontale sunt determinate dispunându-le în mod regulat de-a lungul unei drepte orizontale alese ca bază, apoi făcându-le să conveargă într-un punct de fugă. Toate punctele de fugă stau pe o dreaptă numită orizont sau dreapta de la infinit. Prin intersecţii, se determină punctele celorlalte drepte orizontale şi, din aproape în aproape, întreaga pardoseală.
Pictorii din Renaştere consideră un ambient „lărgit", adăugând punctele de fugă: planul proiectiv, format din planul obişnuit căruia i se adaugă o dreaptă, anume cea care conţine toate punctele de fugă (pe care le gândim ca fiind la infinit), cele la care converg dreptele paralele între ele.
,---��-�------�---- 7 QY.ADR.AN;GVLVS .
Figura 4.9
174 FORMA LUCRURILOR
Figura 4.10
Puţin după aceea, Piero della Francesca scrie şi el un tratat despre desenul în perspectivă, De prospectiva pingendi (Despre perspectivă în pictură, 1482), reprodus în şase copii, două dintre ele chiar de mâna lui Piero. În figura 4.1 O vedem o pagină din tratat, cu instrucţiuni pentru desenul unui cap uman în per·
spectivă şi cu Cetatea ideală.
În 1497 , călugărul matematician Luca Pacioli scrie celebra sa carte De divina proportione (Despre proporţia divină), în care reproduce toate teoriile descrise de Piero, fără să-l citeze măcar o singură dată. În 1509, Pacioli se hotărăşte să-şi tipărească
volumul cu tehnica cea nouă a lui Gutenberg şi, pentru ilustraţii, cere ajutor prietenului său Leonardo da Vinci. Se zice că
