ţine toate proiectivităţile şi toate compunerile lor. Să observăm că se află în acest grup şi toate translaţiile, rotaţiile, reflecţiile şi simetriile. În dimensiuni superioare, grupul proiectivităţilor se defineşte similar.
Geometria proiectivă e studiul obiectelor şi proprietăţilor spa
ţiului proiectiv care sunt invariante la grupul transformărilor proiective. Dreptele, planele şi hiperplanele sunt obiecte ale geometriei proiective. Iată şi un exemplu de teoremă: Teorema lui Desargues. Dacă două triunghiuri dintr-un plan sunt în perspectivă faţă de un punct, atunci dreptele generate de laturile lor corespondente se intersectează în trei puncte coliniare.
Figura 4.13, care ilustrează teorema cu un exemplu, ne fumizează şi o demonstraţie simplă, folosind o idee pe care unii o atribuie matematicianului italian Luigi Cremona.
Să ne imaginăm întreaga configuraţie ca fiind proiecţia uneia din spaţiu - altfel spus, să „ridicăm" configuraţia în spaţiu, ridicând din plan în spaţiu una dintre cele trei drepte pe care stau vârfurile triunghiurilor, lăsând-o însă în continuare să treacă
prin intersecţia celorlalte două. Cele două triunghiuri devin acum triunghiuri în spaţiu şi fiecare dintre ele determină câte un plan; aceste două plane se intersectează după o dreaptă pe care vor sta, în mod necesar, punctele de intersecţie ale dreptelor care prelungesc laturile corespunzătoare ale triunghiurilor. Acum reproiectăm totul în planul iniţial,
iar teorema e demonstrată.
Teorema lui Desargues reprezintă o piatră de hotar în studiul geometriei proiective şi are nenu
Figura 4.13
mărate aplicaţii. E, de exemplu,
178 FORMA LUCRURILOR
Figura 4.14
foarte folosită în imaginea pe calculator (artificial vision) sau în recunoaşterea imaginilor (computer vision): e un instrument util pentru reconstrucţia unei forme spaţiale dintr-un obiect fotografiat.
În figura 4.14 m-am amuzat „căutând" teorema lui Desargues în arhitectura Muzeului Ştiinţelor din Trento, proiectat de Renzo Piano, arhitect italian cu puternice rădăcini culturale în geometria proiectivă.
GEOMETRIA ALGEBRICĂ PROIECTIVĂ
Spaţiul proiectiv n-dimensional e ambientul ideal pentru a scufunda şi studia o clasă importantă de varietăţi - cele algebrice.
În spirit cartezian, să definim o varietate algebrică proiectivă
ca o submulţime a spaţiului proiectiv care, în orice sistem de coordonate locale (x1,x2, • • • x.), e dată de puncte ale căror coordonate satisfac un anumit număr de ecuaţii algebrice, adică
polinomiale. Sunt exact varietăţile descrise de Descartes, curbe, suprafeţe etc., dar cu punctele de la infinit adăugate.
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 179
O varietate algebrică poate avea puncte singulare; dacă le„
eliminăm, ea devine o varietate în sensul lui Riemann.
Dacă aplicăm unei varietăţi algebrice o transformare proiectivă, obţinem o altă varietate algebrică, definită tot ca locul zerourilor unor polinoame; în acest sens, varietăţile alge brice sunt un concept al geometriei proiective.
În spiritul Programului de la Erlangen, putem considera următorul program de clasificare:
1. Două varietăţi algebrice se numesc proiectiv echivalente dacă
există o proiectivitate care le transformă una într-alta.
2. Punând laolaltă varietăţile echivalente între ele, câte clase obţinem?
3. Între varietăţile unei clase, există vreuna privilegiată, un model al tuturor celorlalte din clasă?
4. Se poate asocia unei varietăţi vreun număr sau vreo proprietate care să fie invariant (invariantă) la proiectivităţi şi care să spună cărei clase aparţine respectiva varietate?
Descartes şi Fermat au demonstrat că toate curbele algebrice de gradul 2 sunt echivalente prin izometrii ale planului cu secţiuni conice, curbe care se obţin intersectând un con cu un plan. Pot fi parabole, hiperbole, elipse şi, dacă
planul trece prin vârful conului,
două drepte (cazul degenerat).
Cu ajutorul figurii 4.15 (propusă
deja în capitolul 2), putem demonstra că oricare două conice nedegenerate sunt proiectiv echivalente: într-adevăr, una e proiecţia celeilalte din vârful conului, de pe un plan pe altul.
Toate curbele algebrice plane de
gradul 2 nedegenerate sunt deci
