proiectiv echivalente.
180 FORMA LUCRURILOR
Newton demonstrează un rezultat asemănător pentru curbele algebrice nesingulare de gradul 3. Ca să-l formulăm în limbaj modern, trebuie să lucrăm peste corpul numerelor complexe.
Teoremă. Orice cubică plană nesingulară e proiectiv echivalentă cu o cubică ale cărei puncte sunt descrise de coordonatele complexe (z, w) care satisfac ecuaţia algebrică
w2 =z(z - l)(z- c)
unde ce un număr complex. Curbele corespunzătoare unor numere c diferite sunt neechivalente.
Complexitatea problemei creşte odată cu gradul curbei, programul devine dificil de manevrat. Iar dacă ne uităm la varietăţi de dimensiune mai mare decât I, programul-în termenii în care l-am formulat - devine irealizabil.
Ce e de făcut? O posibilitate ar fi să lărgim grupul transformărilor, reducând astfel numărul claselor şi al invarianţilor. Se introduc în acest scop conceptele de aplicaţie biregulată şi de transfonnare biraţionalăîntre două varietăţi algebrice proiective.
Primele sunt transformări descrise de ecuaţii polinomiale între coordonate. Celelalte sunt definite în acelaşi mod, de polinoame, dar nu pe toată varietatea, ci doar pe o submulţime densă (în limbaj tehnic, se spune că sunt definite pe un deschis Zariski sau în punctele generice). Motivul geometric pentru a nu determina aceste transformări (biraţionale) în anumite puncte e că
exact asta se întâmplă cu proiecţiile, care nu sunt definite în punctele din care se proiectează.
Odată cu înlocuirea grupului proiectivităţilor cu acela al transformărilor biregulate sau biraţionale, intrăm în domeniul geometriei algebrice biregulate sau biraţionale, unul dintre cele mai fructuoase din cercetarea contemporană.
Pionierii teoriei au fost geometri italieni de la sfârşitul secolului XIX şi începutul secolului XX. Printre ei: Veronesc, Cremona, Castelnuovo, Enriques, Segre, Fano. Apoi, în prima jumătate a secolului trecut, geometria algebrică biraţională a GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 11! 1
fost refondată prin lucrările şcolilor germană şi franceză: de.'."'
finiţiile şi teoremele şcolii italiene au fost reformulate în manieră mai algebrică, argumente care înainte se sprijineau mult pe intuiţia geometrică (sau erau chiar greşite), devenind astfel mai convingătoare. Dezvoltarea tehnicilor algebrice în acest domeniu atinge apogeul în jurul lui 1950, odată cu teoria singularităţilor şi cu teoria schemelor, aceasta din urmă fiind opera lui Alexander Grothendieck, matematician francez care ne-a părăsit în 2014, considerat de unii drept cel mai mare matematician al secolului XX.
După al Doilea Război Mondial, intră în scenă şi şcolile rusă
şi americană care rivalizează într-o atmosferă de război rece.
Pentru avansul geometriei algebrice în a doua jumătate a secolului XX stă mărturie şi numărul de Medalii Fields acordate cercetătorilor din domensiu: K. Kodaira (1954), A. Grothendieck (1966) - care, pentru a protesta împotriva acţiunii militare sovietice în Europa de Est, nu a mers la Moscova să-şi ridice medalia -, H. Hironaka (1970), D. Mumford (197 4), S.
Mori (I 990), M. Kontsevich (I 998), C. Birkar (2018); lor trebuie să le adăugăm pe acelea acordate unor matematicieni care s-au ocupat şi de geometrie algebrică: J.-P. Serre (1954, la doar 28
ani), M. Atiyah (l966}, E. Bombieri (l 974), P. Deligne, S.-T. Yau (I 982), G. Faltings (I 986).
O observaţie preliminară ne va ajuta să ne facem o idee despre cât de departe s-a ajuns cu acest program de clasificare.
Varietăţile algebrice sunt definite ca locuri ale zerourilor de polinoame; e bine deci să lucrăm peste corpuri în care aceste polinoame au rădăcini. Aşa cum am spus deja, mulţimea bună
e cea a numerelor complexe, un corp care conţine şi extinde numerele reale şi e algebric închis, adică conţine toate rădăcinile unui polinom. Cum orice număr complex e de formax + iy, cu x şi y numere reale, o varietate parametrizată de n numere complexe e parametrizată de 2n numere reale: trecerea la numere complexe dublează dimensiunea.
O curbă complexă e deci o suprafaţă reală. Dar în acest caz e adevărată şi reciproca: Gauss, Riemann, Beltrami descoperă
182 FORMA LUCRURILOR
că fiecare suprafaţă (varietate riemanniană de dimensiune 2, orientată) poate fi gândită ca varietate algebrică complexă de dimensiune I; de aceea, azi, curbele algebrice complexe se numesc suprafeţe riemanniene.
Teorema de uniformizare enunţată într-un paragraf precedent se poate reciti ca un rezultat de clasificare a curbelor algebrice proiective în trei clase: Teoremă. Orice curbă algebrică proiectivă e biregulat echivalentă cu una dintre următoarele: a) spaţiul proiectiv complex de dimensiune I (sfera); b) o cubică plană (descrisă de Newton);
c) o curbă obţinută plecând de la suprafaţa hiperbolică a lui Beltrami cu identificarea unor puncte (un cât finit).
Curbele din clasa a se numesc raţionale, cele din b, eliptice, iar cele din c se numesc hiperbolice sau de tip general.
La cumpăna secolelor XIX şi XX, şcoala italiană atacă şi rezolvă problema clasificării suprafeţelor algebrice proiective complexe. Teoria e descrisă într-o operă fundamentală a lui Federigo Enriques, anume Suprafeţele algebrice, editată postum, în 1949.*
Opera aceasta trasează drumul dezvoltării ulterioare a geometriei algebrice. Oskar Zariski, matematician rus format la Roma cu Enriques, Castenuovo şi Severi, emigrează în 1927 în Statele Unite, scrie cartea Suprafeţe algebrice** şi pune bazele şcolii americane de geometrie algebrică, printre ale cărei obiective e şi acela de a algebriza mai mult teoria. În paralel, cu câţiva ani mai târziu, şcoala rusă studiază cartea lui Enriques în seminarul de la Moscova al lui Igor Şafarevici, părintele şcolii ruse modeme de geometrie algebrică. În cartea Bazele geometriei algebrice***,
* Le Superftcie Algebriche. Nicola Zanichelli ed., Bologna, 1949. xv+464
p. (N. tr.)
** Algebraic swfaces, Springer Verlag, 1935. (N. tr.)
*** Ed. Ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti, 1976. (N. tr.) GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 183
expunând şi discutând rezultatele italienilor, Şafarevici prefigt:Frează direcţia geometriei biraţionale a şcolii sale.
Clasificarea suprafeţelor e de natură biraţională şi se articulează, la rândul ei, în trei clase. Abordarea italiană e inductivă, studiind curbele de pe suprafeţe şi „ridicând" informaţia de la curbe la suprafeţe. Motiv pentru care se introduc conceptele de divizor şi de divizor canonic: un divizor e o submulţime a varietăţii considerate care e, la rândul ei, o varietate cu o dimensiune mai puţin. Divizorul canonic e unul care descrie intrinsec varietatea, conţinând, de exemplu, multe informaţii privind curbura.
