a găuri, o minge de fotbal înseamnă s-o faci inutilizabilă din punct de vedere geometric.
Topologia, din cuvintele greceşti -ro1tocr (loc) şi A.oyo� (studiu), e geometria care studiază obiectele şi proprietăţile unui ambient, spaţiu sau varietate, care sunt invariante faţă grupul transformărilor continue. În acest context, ambientul asupra căruia acţionează grupul se numeşte spaţiu topologic, cel mai general concept de spaţiu care există azi în geometrie.
Numele a fost introdus pe la jumătatea secolului XIX, dar există anumite rezultate ale lui Euler care au fost recunoscute ca primele din topologie, chiar întemeietoare ale ei.
În 17 35, Euler vizitează oraşul Konigsberg, centru politic şi cultural important al Germaniei, unde, printre alţii, locuia şi Kant. Oraşul e străbătut de un râu care formează insule legate între ele prin şapte poduri, ca în figura 4.17 , care reprezintă harta oraşului la 1652.
Administratorii municipali îi pun lui Euler următoarea problemă: să găsească un traseu care să parcurgă toate podurile o singură dată şi numai una
singură. Probleme de tipul
acesta sunt tipice pentru
comisiile municipale care
se ocupă de trafic.
Euler simplifică formularea problemei transformând în mod continuu (fără tăieturi) harta într-un
graf, cel reprezentat în
Figura 4.17
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 191
figura 4.18: diferitele componente ale
uscatului delimitat de râu sunt concentrate în puncte numite noduri. Podurile care le uneau devin segmente, numite
laturi sau arce ale grafului. Cu aceste simplificări, Euler pune deopotrivă bazele teoriei grafurilor şi ale topologiei.
Figura 4.1s
Apoi observă că, dacă se intră în-
tr-un nod folosind un pod, trebuie să
se şi iasă, cu excepţia nodurilor iniţial şi final. Deci, pentru a putea parcurge toate podurile doar o singură dată, e necesar ca în fiecare nod să ajungă un număr par de poduri; acest număr se numeşte gradul nodului. Această observaţie simplă demonstrează următorul rezultat: Teoremă. Un graf poate fi parcurs în întregime trecând o singură dată de-a lungul fiecărui arc numai dacă (condiţie necesară) are toate nodurile, cu excepţia a două dintre ele, de grad par.
Aşadar, problema podurilor din Konigsberg nu are soluţie, pentru că toate nodurile grafului au grad impar.
Condiţia, s-a demonstrat mai târziu, e şi suficientă: dacă un graf are cel mult două noduri de grad impar, el poate fi parcurs în întregime trecând o singură dată prin fiecare arc; trebuie plecat dintr-un nod impar şi terminat
în celălalt.
Tot lui Euler i se atribuie şi următorul rezultat despre poliedrele convexe, ca acela din figura 4.19.
Fonnula lui Euler. Să considerăm un
poliedru convex, adică un solid convex delimitat de un număr finit de feţe plane poligonale. Să notăm respectiv cu v, I şi f numărul vârfurilor, laturilor şi feţelor Figura 4.19
sale. Atunci are loc formula v- / + f= 2.
192 FORMA LUCRURILOR
Acesta e un rezultat de tip topologic, pentru că suma nu se schimbă dacă solidul e deformat în mod continuu.
O demonstraţie simplă a formulei se obţine presupunând că poliedrul poate fi construit plecând de la o faţă a lui şi adăugând treptat celelalte feţe lipind la fiecare pas faţa cea nouă
doar de-a lungul laturilor consecutive celor precedente.
În această ipoteză, să vedem ce se întâmplă la fiecare pas cu numărul cp = v - l+ f- 1 . La primul pas avem doar o faţă şi un număr egal de vârfuri şi laturi, deci cp = O. La paşii succesivi, lipind o faţă de-a lungul unor laturi consecutive, adăugăm o faţă, a laturi şi a - 1 vârfuri, deci cp rămâne tot O. La ultimul pas, lipind ultima faţă, ca să închidem solidul, adăugăm această nouă faţă şi nici o latură în plus, nici un vârf în plus, deci cp devine 1, ceea ce voiam să demonstrăm.
