Poincare era convins că-şi poate demonstra conjectura; spunea că nu se apucă de ea pentru că i-ar fi luat prea mult timp şi n-ar mai fi putut lucra la alte proiecte. Din momentul în care a propus-o, a devenit problema cea mai importantă din topologie şi, poate, din întreaga geometrie; au fost mulţi cercetători care au propus soluţii dovedite ulterior greşite.
În a doua jumătate a secolului trecut s-a descoperit că e mai uşor de demonstrat conjectura analoagă pentru sfere de dimensiune mai mare decât 3, chiar dacă în nişte ipoteze suplimentare în lipsa cărora există contraexemple. Cazul n � 5 a fost demonstrat de Stephen Smale; douăzeci de ani mai târziu, Michael Friedmann demonstra cazul n = 4; amândoi au fost răsplătiţi cu Medalia Fields, în anii 1966 şi respectiv 1986.
În 1983, William Thurston, laureat Fields în 1982, lansează
un program de clasificare a varietăţilor compacte, orientabile, GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 197
3-dimensionale asemănător celui pentru suprafeţe. Concret, afirmă că fiecare varietate de acest tip poate fi descompusă, tăind-o de-a lungul unor sfere 2-dimensionale sau toruri, într-un număr finit de bucăţi, fiecare dintre ele homeomorfă cu unul din opt modele posibile. Cea de-a opta clasă se dovedeşte cel mai dificil de tratat; e formată din varietăţi cu curbură
constantă, iar pentru a le înţelege trebuie demonstrată o conjectură un pic mai generală decât a lui Poincare (conjectura de geometrizare a lui Thurston).
La aproape o sută de ani după formularea conjecturii lui Poincare, matematicianul rus Grigori Perelman propune, în două articole din 2002, respectiv 2003, o soluţie pozitivă a conjecturii. Mai mult, în aceste articole demonstrează şi conjectura mai generală a lui Thurston. În rezumatul primului articol, Perelman scrie:
[ ••• J verificăm şi unele afirmaţii legate de programul lui Richard Hamilton pentru demonstrarea conjecturii lui Thurston despre geometrizarea varietăţilor tridimensionale închise, schiţăm o demonstraţie eclectică a acestei conjecturi
[ we give a sketch of an eclectic proof of this conjecture] folosind rezultate anterioare despre colapsarea în cazul curburii locale mărginite inferior.
Demonstraţia se face pe o varietate infinit dimensională ale cărei puncte sunt varietăţi riemanniene cu curbură Ricci fixată. Un pas esenţial al soluţiei fusese făcut anterior de Hamilton, care propusese o metodă pentru deformarea unei varietăţi riemanniene cu curbură Ricci pozitivă în una cu curbură constantă; deformarea se face de-a lungul unei traiectorii numite flux Ricci, care apare ca soluţie a unei ecuaţii diferenţiale foarte asemănătoare cu ecuaţia căldurii (care descrie răspândirea căldurii într-un corp solid). Dar Hamilton şi alţi matematicieni se loviseră
de o problemă foarte serioasă: aceste fluxuri Ricci trec prin puncte singulare ale varietăţii ambiente, iar tehnicile obişnuite în teoria ecuaţiilor diferenţiale nu funcţionează în asemenea 198 FORMA LUCRURILOR
puncte. Dificultatea a fost depăşită de Perelman cu metode de analiză matematică pe varietăţi cu singularităţi, metode puse la punct de şcoala rusă la sfârşitul secolului trecut.
Perelman nu şi-a publicat niciodată manuscrisele cu soluţia conjecturii lui Poincare într-o revistă oficială de matematică: le-a postat doar pe internet, anume pe arhiva de preprinturi ştiinţifice Ar Xiv: https:/ /arxiv.org/abs/math/0211159 şi https://
arxiv. org/abs/math/0307 245. Pot fi accesate gratuit de oricine.
În primul articol, Perelman precizează că cercetarea a fost finanţată din economiile proprii făcute din salariile primite ca visiting professor al mai multor instituţii ştiinţifice americane.
A durat mult - luni întregi- până când comunitatea matematică mondială s-a decis să ia în serios încercarea lui Perelman. Timp de câţiva ani, experţi cu multă experienţă au studiat rezultatele conţinute în cele două lucrări; printre ei, Gang Tian şi John Morgan care au refăcut întreaga demonstraţie, făcând-o mai accesibilă comunităţii matematice, atât printr-o serie de seminarii ţinute în toată lumea, cât şi prin publicarea unei cărţi. În 2004, la întoarcerea de la o conferinţă de două săptămâni la Princeton dedicată rezultatelor lui Perelman, Tian îi scrie: ,,Cred că am înţeles întreaga lucrare, it's all right''.
Într-o notă marginală, Perelman observă că există
o relaţie între fizica statistică şi geometria semiriemanniană, aşa cum se vede în termodinamica găurilor negre dezvoltată de Hawking şi de alţii. Din păcate, domeniul acesta e deocamdată dincolo de puterea mea de înţelegere.
Rezultatele lui Perelman sunt însă foarte folosite acum de fizicienii teoreticieni care se ocupă cu determinarea formei universului.
În 2006, lui Perelman i se acordă Medalia Fields „pentru contribuţiile sale în geometrie şi pentru viziunea revoluţionară asupra structurii analitice şi geometrice a fluxului Ricci".
Matematicianul rus renunţă la medalie, explicând că
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 199
e complet irelevant [pentru el], oricine putând înţelege că
odată ce demonstraţia e corectă, nici un alt fel de recunoaştere nu mai e necesar.
După care adaugă:
până să devin celebru, puteam să aleg: să fac nişte chestii urâte [se referă la demascarea unor comportamente necinstite în comunitatea ştiinţifică] sau să nu le fac şi să fiu tratat ca un animal de companie [pet]. Devenind celebru, nu mai pot să mă prefac a fi un animăluţ cuminte, iată de ce renunţ.
Universităţile cele mai prestigioase din lume i-au oferit catedre şi salarii excepţionale; n-a acceptat nici o ofertă, ba, mai mult, a demisionat de la Institutul Steklov din Sankt Petersburg (unde, de altfel, era plătit cu un salariu lunar de câteva sute de euro). S-a îndepărtat de comunitatea ştiinţifică, declarând că
nu se mai consideră un matematician profesionist.
Cred că, dintre oamenii de ştiinţă contemporani, Perelman e, de departe, figura cea mai fascinantă, atât pentru măreţia descoperirilor, cât şi pentru simplitatea paradoxală cu care-şi duce viaţa în societate şi în comunitatea ştiinţifică. Aparent, e un excentric, un absolut onest Don Quijote al matematicii; la o privire mai atentă însă, e greu să nu împărtăşeşti multe dintre opiniile sale şi să nu-i admiri curajul şi hotărârea cu care şi le susţine.
În 2006, doi jurnalişti americani, Sylvia Nasar şi David Gruber, au publicat în New Yorker, suplimentul duminical al New York Times, un lung articol despre povestea lui Perelman care merită cu prisosinţă citit: https://www.newyorker.com/magazine/ 2006/08/28/manifold-destiny. *
* Citatele de mai sus fac parte din acest articol. (N. tr.) 200 FORMA LUCRURILOR
PROBLEMELE MILENIULUI
Clay Mathematics Institute din Cambridge, Massachussets (http://www.claymath.org/), e finanţat de Landon T. Clay, om de afaceri american activ în venture capital ştiinţific şi mecena care „crede în cunoaşterea matematică şi în poziţia ei centrală
în progresul uman, în cultură şi în viaţa intelectuală".
În 24 mai 2000, Institutul anunţă şapte premii, fiecare în valoare de 1 milion de dolari,
concepute pentru a certifica cele mai dificile probleme cu care se confruntă matematicienii la sfârşitul celui de-al doilea mileniu; pentru ca opinia publică să conştientizeze mai bine faptul că frontiera matematicii e încă deschisă şi ea cuprinde încă probleme importante nerezolvate; pentru a sublinia şi accentua importanţa lucrului la problemele cele mai profunde şi dificile; pentru recunoaşterea rezultatelor de importanţă istorică din matematică.
