internaţională de peste o sută de cercetători anunţa lumii că
în 2015 observase o undă gravitaţională corespunzătoare unei soluţii numerice a ecuaţiei lui Einstein cu un Tcorespunzător fuziunii a două găuri negre aflate la distanţă de circa 1 miliard şi 300 de milioane de ani-lumină de Pământ. Observaţiile au GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 163
fost repetate de cel puţin trei ori cu fenomene masive de diferite tipuri. Comunitatea fizicienilor consideră că ele reprezintă
o dovadă experimentală suficientă ca să valideze complet teoria care, până în acel moment, era doar o teorie geometrică. În 2017 , cei trei coordonatori ai proiectului au primit Premiul Nobel pentru fizică.
UN PROGRAM PENTRU A FACE GEOMETRIE
La câţiva ani după moartea lui Riemann, tânărul matematician Felix Klein îşi obţine abilitarea ca docent al Universităţii din Gottingen, iar în 187 2, la numai 23 de ani, devine profesor la Erlangen.
Revoluţia produsă de Riemann în geometrie reclama o nouă
organizare a progresului gândirii şi asta pare să vizeze Klein în prelegerea sa inaugurală din 187 2, cunoscută azi drept Erlanger Programm. Acest program, printre cele mai influente din întreaga gândire ştiinţifică contemporană, se plasează alături de alte manifeste şi programe revoluţionare în vogă în epocă, printre care aş cita Manifestul Partidului Comunist (1848) şi Originea speciilor(l 859).
Klein e un matematician de top şi un om de mare cultură, preocupat de progresul ştiinţific, dar şi de organizarea comunităţii ştiinţifice în forme care sunt şi azi actuale. Printre cele din urmă, înfiinţarea unor reviste de specialitate cu un număr restrâns de referees (recenzenţi şi garanţi ştiinţifici), organizarea cercetării în departamente şi studiul modalităţilor didactice şi de popularizare cele mai eficace.
Printre studenţii săi, trebuie menţionaţi Max Planck, Gregorio Ricci-Curbastro şi Gino Fano. Acesta din urmă a tradus în italiană Programul de la Erlangen şi l-a publicat, însoţit de nişte complemente, în revista Annali di Matematica Pura ed Applicata de la Florenţa, sub titlul „Consideraţii comparative în jurul unor cercetări geometrice recente".
164 FORMA LUCRURILOR
Să citim această traducere, adăugându-i câteva comentarii: Când comparăm conceptul de figură geometrică obţinut treptat în acest mod cu noţiunile geometriei uzuale (elementare), suntem conduşi să căutăm un principiu general conform căruia s-ar putea organiza ambele metode. 1 ..• 1 Ni s-a părut totuşi cu atât mai justificat să publicăm observaţii comprehensive de acest fel, cu cât geometria care, deşi e unică în substanţa ei, a fost mult prea mult divizată în cursul rapidei ei dezvoltări într-o serie de discipline aproape distincte, care avansează independent una de cealaltă.
Scopul e definirea unui principiu general sub care să se adune diversele discipline ale geometriei modeme. Conceptul esenţial cel mai important între toate cele necesare pentru consideraţiile care urmează e acela de grup de transformări ale spaţiului.
În matematică, un grup e o mulţime dotată cu o operaţie, adică o lege care asociază oricăror două elemente ale mulţimii un al treilea; în plus, ea trebuie să aibă un element neutru şi fiecare element al mulţimii trebuie să aibă un invers: numerele întregi, de exemplu, cu adunarea şi cu elementul neutru O, formează un grup. La fel, numerele reale, cu cele două operaţii uzuale, adunare şi înmulţire; elementul neutru al înmulţirii e 1, iar al adunării e O (singurul element care nu are invers faţă de înmulţire). Conceptul acesta apare la începutul secolului XIX
în algebră, în lucrările lui Joseph-Louis Lagrange, Paolo Ruffini, Evariste Galois şi Niels Henrik Abel despre rezolvarea ecuaţiilor polinomiale de grad mai mare ca 4. De-atunci încoace, a devenit unul dintre instrumentele cele mai folosite şi versatile în foarte multe domenii ale cercetării matematice.
Grupul de transformări a fost introdus în geometrie de Sophus Lie; azi, aceste grupuri se numesc grupuri Lie şi sunt foarte importante în fizica teoretică. În programul său, Klein transferă şi decantează mare parte din ideile lui Lie.
O transformare a spaţiului şi, mai general, a unei varietăţi, e o corespondenţă care asociază fiecărui punct al varietăţii un GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 16',
alt punct (şi numai unul) al aceleiaşi varietăţi; se mai cere şi"
ca fiecare punct al varietăţii să provină prin această transformare din altul, şi ca două puncte distincte să nu fie transformate într-un acelaşi, altfel spus, se cere ca transformarea să fie
biunivocă. Două transformări se pot compune, dând naştere unei a treia; trebuie observat că ordinea în care se face compunerea e importantă: în general, când se schimbă ordinea, se obţine o altă transformare.
Un grup de transformări al unei varietăţi e o mulţime de transformări ale varietăţii, cu operaţia dată de compunere.
Lie observă şi că, sub anumite ipoteze, un grup de transformări are el însuşi o structură de varietate, deci poate fi studiat şi clasificat şi din punct de vedere geometric; dar acest aspect nu se va adapta viziunii lui Klein.
Să dăm un exemplu în cazul celei mai simple varietăţi, planul. O translaţiee o transformare care mută fiecare punct într-o direcţie şi la o distanţă fixate. În coordonate, o translaţie se scrie T(x,y) = (x + a,y + b ), cu (a, b) fixate. Mulţimea tuturor transla
ţiilor formează un grup. Alt grup de acest tip e dat de rotaţiile
în jurul unui punct fix; altul, de simetriile faţă de o dreaptă fixă.
Mulţimea tuturor translaţiilor, rotaţiilor, a simetriilor dimpreună cu toate compunerile lor formează un grup, anume grupul
izometriilor planului. Dacă le adăugăm dilatările lungimilor în direcţii radiale faţă de un punct fix, plus toate compunerile posibile, obţinem un grup mai mare, numit grupul asemănărilor.
Acum, există transformări ale spaţiului prin care proprietă
ţile geometrice ale configuraţiilor spaţiale rămân în întregime neschimbate. Asta deoarece proprietăţile geometrice sunt, prin chiar ideea lor, independente de poziţia ocupată
în spaţiu de configuraţia în chestiune, de mărimea ei absolută şi de sensul* în care sunt aranjate părţile ei. Proprietăţile
* Prin „sens" înţelegem acea particularitate a aranjamentului părţilor unei figuri care o distinge de simetrica ei (figura reflectată). Astfel, de exemplu, o elice stângă şi una dreaptă au „sensuri" opuse. (N. a.) 166 FORMA LUCRURILOR
unei configuraţii rămân neschimbate la orice fel de mişcări ale spaţiului, la transformări în configuraţii similare, la transformări în configuraţii simetrice faţă de un plan (reflec
ţie), precum şi la orice combinaţie a acestor transformări.
Numim totalitatea acestor transformări grupul principal* de transformări ale spaţiului; proprietăţile geometrice nu sunt
schimbate de transformările din grupul principal. Şi reciproc, proprietăţile geometrice sunt caracterizate prin aceea că rămân neschimbate la transformările grupului principal. Pentru că, dacă
privim deocamdată spaţiul ca imobil etc., ca o varietate rigidă, atunci orice figură are un caracter individual; dintre toate proprietăţile pe care le posedă o figură ca individualitate, doar proprietăţile geometrice sunt păstrate de transformările grupului principal. Ideea aceasta, formulată aici oarecum imprecis, va fi clarificată în cursul expunerii.
